27 Ene 2017

2017: números de Leonardo, Fibonacci y Fermat (no es tan complicado)

Tecnología

En mi artículo anterior, iniciamos una competición matemática. Os recuerdo la tarea:

Hacer operaciones +, -, x, ÷ y () usando números del 10 al 1 para obtener como resultado 2017.

Una tarea fácil que se complicó más.

¿Y qué hay de usar números del 9 al 1 combinándolos aritmeticamente para obtener 2017? ¿Del 8 al 1? ¿7 al 1? ¿Hasta llegar solo a uno?

Recibí respuestas de nuestro club de fans. Algunas de las respuestas (recuerda que hay varias posibilidades de obtener 2017) eran encantadoramente interesantes, mientras que otras no eran tan elegantes, por lo que solo tengo que compartir algunas con vosotros…

— 10 —

Aquí tenéis las soluciones más elegantes:

10 * 9 * 8 * 7 * 6 / 5 / (4 – 3 + 2) + 1 = 2017
10 * 9 * 8 * (7 – 6) / 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017
(10 – 9) + 8 * 7 * (6 – 5) * 4 * 3 * (2+1) = 2017
(10 – 9) + 8 * 7 * 6 * (5 – 4) * 3 * 2 * 1 = 2017
(-10 + 9 + 8 + 7 * (6 + 5)) * 4 * 3 * 2 + 1 = 2017

También usando los diez números, podrías hacerlo así, pero es poco elegante (a mí se me ocurrió, solo tardé diez minutos :):

10 * 9 * 8 * 7 / ((6 * 5) / 4) – 3 – 2) + 1 = 2017

Y algo de matemáticas más elegantes:

10 – (9 + 8 * (7 * (6 * (5 * (4 – (3 + 2)) – 1)))) = 2017
(10 – 9) + 8 * (7 * (6 * ((5 * (4 – 3)) + 2 – 1))) = 2017

— 9 —

Ahora sin el 10. Al principio parece que la tarea se complicará. Sin embargo, la solución puede deducirse en pocos minutos:

9 * 8 * 7 * 6 * (5 – 4) / 3 * 2 + 1 = 2017
9 + 8 * ((7 * 6 * (5 – 4) * 3 * 2) – 1) = 2017
9 * 8 * 7 * (6 – 5 + 4 – 3) * 2 + 1 = 2017

A A.B. se le ocurrió una variante fulminante:

9 * 8 * 7 * 6 / (((5 + 4) / 3) / 2) + 1 = 2017

Esta es otra variante en la línea de la anterior:

9 * (8 – ((7 – 6) * (5 – 4))) * (32) + 1 = 2017

— 8 —

Solo con números del 1 al 8, ambos inclusive, la cosa se vuelve sorprendentemente más fácil:

8 * 7 * 6 * (5 – 4) * 3 * 2 +1 = 2017
8 * 7 * (6 + 5 + 4 + 3) * 2 + 1 = 2017
8 * 7 * 6 * ( 5 + 4 – 3) + (2 – 1) = 2017
8 * (7 + 6 + 5) * ((4 * 3) + 2) + 1 = 2017

Aritmética enrevesada:

(8 – 7 + 6) * (5 + 4) * (32) + 1 = 2017

— 7 & 6 —

Si usamos números del 1 al 6 o del 1 al 7, se necesita un número factorial; no puedo llegar a 2017 sin él.

7 * (6 – 5) * 4! * 3! * 2 + 1 = 2017
6! / 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017

7 – 6 – 5! – 4! + 3 * ((2+1)!)!
7 + (6! – 5 * (4 + 3!)) * (2+1)
7 – (6 – 5!) * 4! – (3!)! – (2+1)!
7! – 6! / 5 – 4 * (3!)! + 2-1
7! – (6 + 5!) * 4! + (3-2-1)!

6! – 5! – 4! + (3!)! * 2 + 1
(6 + 5!) * 4! / 3 * 2 + 1
(6! / 5 + 4!) * 3! * 2 + 1

¿Se os ocurre alguna otra variante?

— 5 —

Una solución enrevesada:

/5 * (4 + 3)! * 2 + 1

Esta es más elegante, pero require una raíz cuadrada:

((( 5 – √4 )! )!!!! ) !!!!! * ((3 * 2)!!!! ) + 1 = 2017.

— 4 —

(¿Cómo de lento puedes ir?)

[(4#)!!!!]!!!!! * [(3 * 2)!!!!] + 1 = 2017

# es un primorial y !!!! y !!!!! son primos primoriales de #.

¡Bravo! ¡Muy bien hecho! ¡Nunca había oído hablar de ese tipo de números! Nunca me los enseñaron, de verdad.

Un par de soluciones extra:

(4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!)*(3!)*2+1 = 2017

Su desarrollo:

4!=1*2*3*4=24
24!!!!!!!!!!!!!!!!!=24*(24-17)=24*7=168
3!=6
168*6*2+1=2016+1=2017

¡Una solución extremadamente elegante!

Otra más en la que sf(n) y es un superfactorial:

sf(4) * (3! + !2) + 1 = 2017

where:

sf(4)=1!*2!*3!*4!=288
3!=3*2*1=6
!2=1

— 3 —

¡La historia no termina aquí! Ahora obtendremos 2017 solo con “3, 2 y 1”, ni un número más. ¿Si lo digo en serio? ¡Pues claro!

Para esta tarea necesitamos:

L(n): un número Leonardo

!n: un subfactorial

n!!: un primo primorial

Allá vamos:

1 + 2 = 3.
L(3) = 5.
5!! = 15.
L(15) = 1973.
!5 = 44.

L( (L(3)) !! ) + !( L(2 + 1) ) = 1973 + 44 = 2017

Eso ha sido fácil y rápido. ¡Qué gente! J

— 2 —

Dos y uno, ¿cómo llegar hasta 2017? ¿No es posible? Echad un vistazo: “2 1 = 2017”. ¿Qué clase de magia negra matemática necesitamos para obtener la solución?

Para esta tarea necesitamos:

Un número Fibonacci F(n) y un número Fermat Fm(n)

lo que nos lleva a la tarea anterior (3, 2,1 -> 2017):

F(2) = 1 (si no, podemos usar un subfactorial !2=1).
Fm(1) = 3.

2 1 => Fm(F(2)) Fm(1) => 3 3
L( (L(3)) !! ) + !( L(3) ) = ….. ¿sabéis qué? 🙂

O

L( (L( Fm(F(2)) )) !! ) + !( L( Fm(1) )) = 2017.

Y esa es la señal de “final del camino”. Es obvio que NO es posible transformar un único “1” en 2017, el espacio y espacio matemáticos no son una película de ciencia ficción y no existe un túnel de teletransporte que salte del 1 al 2017.

Oh, vaya. NO había ningún túnel antes de que compartiera esta idea con mis colegas. Uno de ellos me contestó con trigonometría, la cual explico en unas líneas más abajo.

¿Listos? ¿Aún no me creéis? Guardad vuestras sonrisas para ocasiones mejores: ¡SÍ es POSIBLE! Dadle las gracias a Maxim Yurchuk, quien ideó está operación.

— 1 —

ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg … ctg arctg sin arcctg 1 (repetid la función ctg arctg sin arcctg 2017^2 -1 times) = 2017.

He aquí la prueba:

sin t = 1/sqrt(1+ ctg^2(t)),
traducid las dos funciones de la derecha y obtendréis:
sin arcctg s = 1/sqrt(1 + s^2)

Mediante la misma lógica, podemos estar seguros de que estas cuatro funciones, dos veces, nos llevan a

ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg s = sqrt(2 + s^2)

Mediante inducción matemática, podemos demostrar:

ctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + s^2)
donde ctg arctg sin arcctg se repite n veces.

Luego reemplazamos s con 1 y obtenemos:

ctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + 1^2)
donde ctg arctg sin arcctg se repite n veces.

— 0 —

La “guinda del pastel”, de cero a 2017. Esta es fácil:

Cos(0)=1

Volvemos a la tarea anterior.

— Extra —

Continuemos con esto de algún modo.

¿Y si… obtenemos 2017 desde i (no olvidéis hacer clic en el enlace porque esta es una i muy interesante)? ¿Cómo convertimos 2017 en la constante de Planck? ¿O la masa de un electrón en unidades atómicas? ¿O el % de exención de IVA de operaciones de exportación? En resumen, el océano de ilusiones matemáticas en la moderna esfera socioeconómica física es del todo ilimitada. ¡Venga, intentadlo!

Tenemos tiempo hasta que termine el año, luego reharemos las operaciones con 2018 :).